Question

（2013•吳江市模擬）關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根是x_l和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=-2時(shí)，求4x₁²+6x₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，然后解兩個(gè)不等式得到它們的公共部分即可；
（2）先把k=-2代入原方程得到4x²-6x+1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x_l+x₂=

3

2

，x_l•x₂=

1

4

，由于x_l是原方程的解，則4x₁²-6x₁+1=0，即4x₁²=6x₁-1，所以4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1，然后利用整體思想計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k-2≠0且△=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠0；
（2）當(dāng)k=-2時(shí)，方程變形為4x²-6x+1=0，則x_l+x₂=

3

2

，x_l•x₂=

1

4

，
∵x_l是原方程的解，
∴4x₁²-6x₁+1=0，
∴4x₁²=6x₁-1，
∴4x₁²+6x₂=6x₁-1+6x₂=6（x₁+x₂）-1=6×

3

2

-1=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義和根與系數(shù)的關(guān)系．