Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD－DE－EB運(yùn)動，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在AD上以cm/s的速度運(yùn)動，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段AC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s).

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時，線段DP的長為______cm,（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時，求t的值．

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)CD．當(dāng)點(diǎn)N于點(diǎn)D重合時，有一點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運(yùn)動，直至點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)H停止往返運(yùn)動；當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時，點(diǎn)H始終在線段MN的中心處．直接寫出在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)H落在線段CD上時t的取值范圍．

Answer 1

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或

6≤t≤8。

【解析】解：（1）t－2。

（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時，有兩種情況：

（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況：

①當(dāng)2＜t＜4時，如圖（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵M(jìn)N∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

 ∴

 。

②當(dāng)＜t＜8時，如圖（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

 。

綜上所述，S與t的關(guān)系式為：。

（4）在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=或t=5或

6≤t≤8。

（4）本問涉及雙點(diǎn)的運(yùn)動，首先需要正確理解題意，然后弄清點(diǎn)H、點(diǎn)P的運(yùn)動過程：

依題意，點(diǎn)H與點(diǎn)P的運(yùn)動分為兩個階段，如下圖所示：

①當(dāng)4＜t＜6時，此時點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動，如圖（4）a所示。

此階段點(diǎn)P運(yùn)動時間為2s，因此點(diǎn)H運(yùn)動距離為2.5×2=5cm，而MN=2，

則此階段中，點(diǎn)H將有兩次機(jī)會落在線段CD上：

第一次：此時點(diǎn)H由M→H運(yùn)動時間為（t－4）s，運(yùn)動距離MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

第二次：此時點(diǎn)H由N→H運(yùn)動時間為t－4－=（t－4.8）s，運(yùn)動距離NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。