Question

【題目】如圖，已知直線：y＝kx+3k與x軸交于A點(diǎn)，與拋物線y＝+1交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)

（1）若k＝1，求點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊）的坐標(biāo)；

（2）過B、C分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，求ADAE的值；

（3）將拋物線y＝+1沿直線y＝mx+1（m＞1）向右平移t個單位，直線y＝mx+1交y軸于S，交新拋物線于MT，N是新拋物線與y軸的交點(diǎn)，試探究t為何值時，NT∥x軸？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為；（2）13；（3）t＝4m

【解析】

（1）聯(lián)立直線和拋物線表達(dá)式即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)BC的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，將直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立用韋達(dá)定理求出：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，ADAE＝（x1+3）（x2+3）即可求解；

（3）求出N（0，+mt+1）；再用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)（t+4m，mt+4m2+1），NT∥x軸，則yT＝yN，即可求解．

（1）k＝1時，聯(lián)立直線和拋物線表達(dá)式得：，解得：x＝2±2，

故：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（2﹣2，5﹣2）、（2+2，5+2）；

（2）設(shè)點(diǎn)BC的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，

y＝kx+3k，令y＝0，則x＝﹣3，即點(diǎn)A（﹣3，0），

將直線表達(dá)式：y＝kx+3k與拋物線表達(dá)式y＝+1聯(lián)立并整理得：

x2﹣4kx+（4﹣12k）＝0，

則：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，

ADAE＝（x1+3）（x2+3）＝x1x2+3（x1+x2）+9＝4﹣12k+12k+9＝13；

（3）設(shè)拋物線沿直線向右平移t個單位，相當(dāng)于同時向上移動了mt個單位，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（t，1+mt），

平移后的拋物線為：y＝（x﹣t）2+（1+mt）…①，則點(diǎn)N（0， +mt+1），

直線y＝mx+1（m＞1）…②，

將①②聯(lián)立并整理得：x2﹣2xt﹣4mx+t2+4mt＝0，

x1+x2＝2t+4m，

由題意得：x1＝xM＝t，

∴x2＝t+4m＝xT，

則點(diǎn)T的坐標(biāo)為（t+4m，mt+4m2+1），

NT∥x軸，則yT＝yN，

即： +mt+1＝mt+4m2+1，

解得：t＝4m．