Question

（2004•長沙）已知兩點(diǎn)O（0，0）、B（0，2），⊙A過點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)O、C，⊙A被y軸分成段兩圓弧，其弧長之比為3：1，直線l與⊙A切于點(diǎn)O，拋物線的頂點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng)．
（1）求⊙A的半徑；
（2）若拋物線經(jīng)過O、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）過l上一點(diǎn)P的直線與⊙A交于C、E兩點(diǎn)，且PC=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PFC的面積關(guān)于m的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，⊙A被y軸分成段兩圓弧，其弧長之比為3：1，可知弦OB所對的圓心角的度數(shù)為90°，即三角形OAB為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊OB長為2，因此圓A的半徑應(yīng)該是；
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行求解：
圓A的圓心在第一象限時(shí)，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是（2，0），
圓A的圓心在第二象限時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（-2，0），
因此可設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-2）或y=ax（x+2）．已知頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線l上，由于l與圓相切，在（1）已經(jīng)得出∠BOA=45°，因此直線l與y軸的夾角為45°，那么直線l的解析式為y=x或y=-x．根據(jù)拋物線的對稱性和O，C的坐標(biāo)可知，拋物線的對稱軸為x=1或x=-1，將橫坐標(biāo)代入直線l中即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中即可得出所求的結(jié)果；
（3）本題可根據(jù)切割線定理求解，先根據(jù)直線l的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，如（m，-m）（m＞0）那么OP=m，根據(jù)切割線定理有OP²=PC•PE=2PC²=2m²，因此PC=m，由此可得出PC與P的縱坐標(biāo)的絕對值相同，即PC⊥x軸，因此m=OC=2．即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（另外一種情況，即當(dāng)直線l的解析式為y=x時(shí)，解法同上）
（4）已知了P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，即拋物線的對稱軸為x=m，可據(jù)此求出FC的長，然后將m代入拋物線的解析式中求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出三角形的高，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求得S，m的函數(shù)關(guān)系式．（本題要注意的線段的長不能為負(fù)數(shù)，因此要根據(jù)m的不同的取值范圍進(jìn)行分類討論）
解答：解：（1）
由弧長之比為3：1，
可得∠BAO=90°，（1分）
再由AB=AO=r，且OB=2，
得r=；

（2）⊙A的切線l過原點(diǎn)，可設(shè)l為y=kx，
任取l上一點(diǎn)（b，kb），由l與y軸夾角為45°，
可得：b=-kb或b=kb，得k=-1或k=1，
∴直線l的解析式為y=-x或y=x
又由r=，易得C（2，0）或C（-2，0）
由此可設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-2）或y=ax（x+2）
再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入l的解析式中得a=1
∴拋物線為y=x²-2x或y=x²+2x；

（3）當(dāng)l的解析式為y=-x時(shí)，由P在l上，
可設(shè)P（m，-m）（m＞0）
過P作PP′⊥x軸于P′，
∴OP′=|m|，PP′=|-m|，
∴OP==2m²，
又由切割線定理可得：OP²=PC•PE，且PC=CE，
得PC=C′E=m=PP′
∴C與P′為同一點(diǎn)，即PE⊥x軸于C，
∴m=-2，E（2，2）
同理，當(dāng)l的解析式為y=x時(shí)，m=-2，E（-2，2）；

（4）若C（2，0），此時(shí)l為y=-x，
∵P與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合，
∴m≠0且m≠2，
當(dāng)m＜0時(shí)，F(xiàn)C=2（2-m），高為|y_p|即為-m，
∴S==m²-2m．
同理當(dāng)0＜m＜2時(shí)，S=-m²+2m；當(dāng)m＞2時(shí)，S=m²-2m；
∴S=.，
又若C（-2，0），
此時(shí)l為y=x，同理可得；S=.．
點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．