Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，請?jiān)谶?i>CD上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接寫出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm．動點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s) ，點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．

①當(dāng)t＝4時(shí)，求PH的長．
②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

（1）尺規(guī)作圖正確，痕跡清楚.
（以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)）……… (2分)
（2）4個(gè).…………………………………………………………………… (4分)
（3）①當(dāng)t＝4時(shí)，PH＝或PH＝2或PH＝3 .……………………… (7分)
②當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t＝5或t＝8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)t＝4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；
當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn). …………………… (11分)解析:
（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)就是A，B兩點(diǎn)在CD上的勾股點(diǎn)；
（2）當(dāng)矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，此時(shí)以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)；
（3）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8﹣4=4，QN=5﹣4=1，分三種情況：
當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對應(yīng)線段成比例即可求出PH；
當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4﹣x，根據(jù)勾股定理得到PM²+PH''²=QN²+H''Q²+MN²，而MN==5，依次即可求出PH''；
當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到H'P²+PM²+QH'²+QN²=MN²，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍．