Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠ECG＝45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：．

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一點，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可證得△CBE≌△CDF，從而得到結(jié)論；（2）延長AD至F，使DF=BE．連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可證得△ECG≌△FCG，即可證得結(jié)論；（3）15

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可證得△CBE≌△CDF，從而得到結(jié)論；      

（2）延長AD至F，使DF=BE．連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可證得△ECG≌△FCG，即可證得結(jié)論；

（3）過C作CD⊥AG，交AG延長線于D．證得四邊形ABCD 為正方形．由（2）中△ECG≌△FCG，即得GE＝GF．GE＝DF＋GD＝BE＋GD，設(shè)DG＝x，可得AE=4，AG＝6—x，EG="2+" x．在Rt△AEG中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)果．

（1）在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．       

（2）如圖2，延長AD至F，使DF=BE．連接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

又∠GCE＝45°，

∴∠BCE+∠GCD＝45°．

∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°

即∠ECG＝∠GCF．

又∵CE＝CF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．   

∴=．

∴．

（3）如圖3，過C作CD⊥AG，交AG延長線于D．

在直角梯形ABCG中，

∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CDA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCD 為正方形．

已知∠ECG＝45°．

由（2）中△ECG≌△FCG，∴ GE＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 

設(shè)DG＝x，

∵BE=2，AB=6，

∴AE=4，AG＝6—x，EG="2+" x．

在Rt△AEG中，

，即．

解得：x＝3．

∴==15．  

∴△CEG的面積為15．

考點：正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，勾股定理

點評：此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．