Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如圖①，三角形內(nèi)有并排的兩個(gè)全等的正方形GDKH和正方形HKEF，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，若AC=4，BC=3，求正方形的邊長(zhǎng)；
（2）如圖②，在△ABC中從左向右依次作內(nèi)接正方形CNDM、正方形MKEH、正方形HPFG，若正方形CNDM的邊長(zhǎng)為m，正方形MKEH的邊長(zhǎng)為n，請(qǐng)你用含m、n的代數(shù)式表示正方形HPFG的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x，首先根據(jù)面積定值求出三角形ACB斜邊上的高線(xiàn)長(zhǎng)，作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，因?yàn)椤鰿GF∽△CAB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比可求出正方形的邊長(zhǎng)．
（2）設(shè)正方形HPFG的邊長(zhǎng)為c，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等可得m，n和c的關(guān)系．

解答：解（1）作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴

1

2

AB•CN=

1

2

AC•BC，
∴CN=

3×4

5

=

12

5

，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，
設(shè)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為x，則

12 5 -x

12 5

=

2x

5

，
∴x=

60

49

；
（2）解：如右圖所示，
根據(jù)條件可以得到△DKE∽△EPF，
∴DK：PE=KE：PF，
而DK=m-n，F(xiàn)G=c，PE=n-c，PF=c，
∴（m-n）：（n-c）=n：c，
∴n²=mc，
∴正方形HPFG的邊長(zhǎng)是

n2

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例找出后面正方形的邊長(zhǎng)與第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系．