Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G，DE、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)M是CG的中點(diǎn)．求證：
（1）BM∥GH；
（2）BM⊥CF．

Answer 1

證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠A=∠EBH=90°，AD=BC，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∵∠AED=∠BEH，
∴△AED≌△BEH，
∴AD=BH，
∴BC=BH，即點(diǎn)B為CH的中點(diǎn)，
又點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，
∴BM為△CGH的中位線，
∴BM∥GH．

（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90°，
又∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴AE=AB，DF=AD，
∴AE=DF，
∴△AED≌△DFC，
∴∠ADE=∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠DCF+∠CDE=90°，∴∠CGH=90°，
∵BM∥GH，
∴∠CMB=∠CGH=90°，
∴BM⊥CF．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A與∠EBH都為直角，邊AD與BC的相等，再根據(jù)已知的點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)得到AE=BE，另加一對(duì)對(duì)頂角的相等，根據(jù)“ASA”證得三角形ADE與三角形BHE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=AD，等量代換可得BH=BC，從而得到點(diǎn)B為CH的中點(diǎn)，再由已知的點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，可得BM為三角形CGH的中位線，根據(jù)中位線定理即可得到BM與GH的平行；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到正方形的四條邊相等，∠A與∠DAC都為直角，又點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，可得AE=DF，根據(jù)“SAS”證得三角形AED與三角形DFC全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADE與∠DCF的相等，又∠ADE+∠CDE=90°，根據(jù)等量代換可得∠DCF+∠CDE=90°，從而得到∠CGH為90°，最后由第一問(wèn)得到的平行，根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得到∠CMB為90°，即BM⊥CF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．是一道把三角形的知識(shí)與四邊形知識(shí)綜合在一起的一道證明題，是歷年中考必考的題型，要求學(xué)生熟練掌握有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形，勇于探索，鍛煉了學(xué)生發(fā)散思維能力．