證明:(1)∵正方形ABCD,
∴∠A=∠EBH=90°,AD=BC,
∵E是AB的中點,
∴AE=BE,
∵∠AED=∠BEH,
∴△AED≌△BEH,
∴AD=BH,
∴BC=BH,即點B為CH的中點,
又點M為CG的中點,
∴BM為△CGH的中位線,
∴BM∥GH.
(2)∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD=CD,∠A=∠ADC=90°,
又∵點E、F分別是邊AB、AD的中點,
∴AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB,DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AD,
∴AE=DF,
∴△AED≌△DFC,
∴∠ADE=∠DCF,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠DCF+∠CDE=90°,∴∠CGH=90°,
∵BM∥GH,
∴∠CMB=∠CGH=90°,
∴BM⊥CF.
分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A與∠EBH都為直角,邊AD與BC的相等,再根據(jù)已知的點E為AB的中點得到AE=BE,另加一對對頂角的相等,根據(jù)“ASA”證得三角形ADE與三角形BHE全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BH=AD,等量代換可得BH=BC,從而得到點B為CH的中點,再由已知的點M為CG的中點,可得BM為三角形CGH的中位線,根據(jù)中位線定理即可得到BM與GH的平行;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到正方形的四條邊相等,∠A與∠DAC都為直角,又點E、F分別是邊AB、AD的中點,可得AE=DF,根據(jù)“SAS”證得三角形AED與三角形DFC全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠ADE與∠DCF的相等,又∠ADE+∠CDE=90°,根據(jù)等量代換可得∠DCF+∠CDE=90°,從而得到∠CGH為90°,最后由第一問得到的平行,根據(jù)兩直線平行,同位角相等即可得到∠CMB為90°,即BM⊥CF.
點評:此題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì).是一道把三角形的知識與四邊形知識綜合在一起的一道證明題,是歷年中考必考的題型,要求學(xué)生熟練掌握有關(guān)知識,結(jié)合圖形,勇于探索,鍛煉了學(xué)生發(fā)散思維能力.