Question

某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)1 000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與費(fèi)用之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖甲）；該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量與銷(xiāo)售單價(jià)之間的函數(shù)圖象是線段（如圖乙），若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售完，問(wèn)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，所獲得的毛利潤(rùn)最大？（毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-費(fèi)用）

Answer 1

分析：本題通過(guò)圖象反映了二次函數(shù)，一次函數(shù)的有關(guān)數(shù)量，就可以簡(jiǎn)便地求出兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，要找準(zhǔn)毛利潤(rùn)的等量關(guān)系：毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售單價(jià)×年產(chǎn)量-費(fèi)用．

解答：解：設(shè)年產(chǎn)量（t）與費(fèi)用（萬(wàn)元）之間函數(shù)解析式，y₁=ax²，
由圖甲得，將點(diǎn)（1000，1000）代入得：1000=1000²a，
解得：a=

1

1000

，
即y₁=

1

1000

x²，
設(shè)年銷(xiāo)量（t）與銷(xiāo)售單價(jià)（萬(wàn)元/t）之間的函數(shù)解析式為y₂=kx+b，
代入（0，30）、（1000，20）得：

30=b 20=1000k+b

，
解得：

k=- 1 100 b=30

，
即：y₂=-

1

100

x+30，
設(shè)毛利潤(rùn)為y萬(wàn)元，
由題意得：y=（-

1

100

x+30）x-

1

1000

x²，（其中0≤x≤1000）
y=-

11

1000

x²+30x=-

11

1000

（x²+

30000

11

x）=-

11

1000

（x-

15000

11

）²+

225000

11

，
當(dāng)x=

15000

11

時(shí)，取最大值，
∵x=

15000

11

＞1000，
∴當(dāng)0≤x≤1000時(shí)，y隨x的增大而增大，
故當(dāng)x=1000時(shí)圖象達(dá)到最高點(diǎn)，故當(dāng)年產(chǎn)量為1000噸時(shí)，所獲得的毛利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象列出函數(shù)式，并學(xué)會(huì)利用配方法求極值，注意變量x的取值范圍．