Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=AC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．
（1）求證：BF⊥DF；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD交AC于O，連接FO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，推出OF是三角形AEC的中位線，得出2FO=EC=AC=BD，根據(jù)直角三角形的判定推出直角即可；
（2）求出AC和BD，得出CE長(zhǎng)，求出BE，根據(jù)勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．
解答：（1）證明：
連接BD交AC于O，連接FO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F為AE中點(diǎn)，
∴FO=CE，
∵AC=CE，
∴FO=AC=BD，
即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF；

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==4，
∵F為AE中點(diǎn)，
∴BF=AE=2，
在Rt△DFB中，DF===4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，靈活運(yùn)用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，即求出FO=OB=OD，題目比較好，但有一定的難度．