(2012•莆田質(zhì)檢)如圖,在矩形OABC中,OA、OC兩邊分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OC=2,過OA邊上的D點(diǎn),沿著BD翻折△ABD,點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處,反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)在第一象限上的圖象經(jīng)過點(diǎn)E與BD相交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形ABED是正方形;
(2)點(diǎn)F是否為正方形ABED的中心?請(qǐng)說明理由.
分析:(1)∵四邊形OABC是矩形,則BC=OA=3、AB=OC=2,∠DAB=∠ABE=90°,根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠BED=∠DAB=90°,BA=BE,然后根據(jù)正方形的判定即可得到結(jié)論;
(2)過F作FH⊥x軸于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)得BE=BA=2,CE=BC-BE=3-2=1,得到E(1,2),則反比例函數(shù)解析式為y=
2
x
,利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式為y=x-1,然后解方程組
y=
2
x
y=x-1
得到F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),而BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵四邊形OABC是矩形,
∴BC=OA=3、AB=OC=2,∠DAB=∠ABE=90°,
∵△BED是由△ABD沿著BD翻折得到的,
∴∠BED=∠DAB=90°,BA=BE,
∴四邊形ABED是正方形;

(2)F點(diǎn)是正方形ABED的中心.理由如下:
過F作FH⊥x軸于H,如圖,
∵四邊形ABED是正方形,
∴BE=BA=2,CE=BC-BE=3-2=1,
∴E(1,2),
∴k=1×2=2,
∴反比例函數(shù)解析式為y=
2
x
,
∵D(1,0)、B(3,2),
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,
把D(1,0)、B(3,2)代入得k+b=0,3k+b=2,
解得k=1,b=-1,
∴直線BD的解析式為y=x-1,
解方程組
y=
2
x
y=x-1
x=-1
y=-2
x=2
y=1
,
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),
∵D(1,0)、B(3,2),
∴BD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)
∴F點(diǎn)是正方形ABED的中心.
點(diǎn)評(píng):本題考查了反比例函數(shù)綜合題:反比例函數(shù)y=
k
x
上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為k;運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式;運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)解決問題;掌握翻折的性質(zhì).
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x<2
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