Question

點E是正方形ABCD外一點，點F在DE上，且AF=AE=，∠EAF=90°，F(xiàn)B=3．
（1）求證：△AFD≌△AEB；
（2）求∠DEB的度數；
（3）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠DAB=90°，再根據同角的余角相等求出∠EAB=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）先根據等腰直角三角形的性質求出∠AFE=∠AEF=45°，然后求出∠DFA=135°，再根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠DFA=135°，然后列式計算即可求出∠DEB=90°；
（3）利用勾股定理列式求出EF、BE的長，再根據全等三角形對應邊相等求出DF，連接BD，在Rt△BDE中，設正方形的邊長為x，利用勾股定理列式求出x的平方，即可得解．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
又∵∠EAF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，
在△AFD與△AEB中，
∵，
∴△AFD≌△AEB（SAS）；

（2）解：∵AF=AE=，∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠AEF=45°，
∵∠AFE+∠DFA=180°，
∴∠DFA=135°，
∵△AFD≌△AEB，
∴∠AEB=∠DFA=135°，
∴∠DEB=∠AEB-∠AEF=135°-45°=90°；

（3）在Rt△AEF中，EF===2，
在Rt△BEF中，BE===，
∵△AFD≌△AEB，
∴DF=BE=，
連接BD，設正方形ABCD的邊長為x，則在Rt△ABD中，BD=x，
在Rt△BED中，BE²+DE²=BD²，
即（）²+（2+）²=（x）²，
∴x²=7+2，
∴正方形ABCD的面積為（7+2）．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及勾股定理的應用，根據度數相等求出∠DEB=90°是解題的關鍵．