Question

把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，∠ABC=90°，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），AO = 2OB，且∠OAB =∠BAC．

（1）求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自OA的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長；

（3）在AC上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D．

∵A（0，4），  AO=2BO

∴OB=2

∴B(2，0)        …………  1分

∵∠ABC=∠AOB=90°

∠OAB=∠BAC

 ∴△ABC∽△AOB

∴

∴

∵∠OBA+∠CBD=90°

∠OBA+∠OAB=90°

∴∠OAB=∠CBD

∵∠CDB=∠AOB=90°

∴△AOB∽△BDC

∴

∴BD=2， DC=1

∴C（4，1）          ………… 2分

∵拋物線過點(diǎn)A（0，4）

∴設(shè)拋物線解析式為：y = ax²+bx+4        …………  3分

又∵拋物線過B（2，0），C（4，1）

∴   4a+2b+4=0

16a+4b+4=1

解得：a = 

∴拋物線解析式為：y =x²-x+4       …………  4分

(2)拋物線的對(duì)稱軸為：直線x =-  …………  5分

作A關(guān)于直線x =的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′（，4）………6分

作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，則M′（0，-2）  …………  7分

連接A′M′交x軸于點(diǎn)E，交直線x =于點(diǎn)F

則此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的路線最短，        

由對(duì)稱性得：ME+FE+FA= A′M′…………  8分

又∵A′M′=

∵直線A′M′解析式為：y =

∴E（，0），   F（，1）      …………  9分

(3)①若QB=QC時(shí)，Q₁(2，)     …………  10分

②若QC=BC時(shí)，Q₂()       …………  11分

③若QB=BC時(shí)，Q₃()…………  12分

【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定、二次函數(shù)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、二元一次方程組、等腰三角形的判定

【解題思路】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.（3）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)先把點(diǎn)M、A分別轉(zhuǎn)移到x軸、對(duì)稱軸的兩側(cè)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短確定出點(diǎn)E和F的位置及最短路線長.(4)由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合相似得出Q點(diǎn)坐標(biāo).