Question

19、如圖所示，點(diǎn)O是AD、BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．分別將“∠BAC=∠ABD”記為①，“AC=BD”記為②，“OE⊥AB”記為③，要求同學(xué)從這三個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論．（在橫線上填上序號(hào)）
（1）寫(xiě)出一個(gè)真命題：如果

∠BAC=∠ABD，OE⊥AB

，那么

AC=BD

．并證明這個(gè)真命題
（2）寫(xiě)出一個(gè)真命題：如果

AC=BD，∠BAC=∠ABD

，那么

OE⊥AB

．

Answer 1

分析：三角形全等條件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組對(duì)應(yīng)邊相等．故（1）可選如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．由已知可證∠OAC=∠OBD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，根據(jù)三角形全等的判定定理ASA證得△AOC≌△BOD，即證AC=BD．
故（2）可選如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．由已知AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
根據(jù)三角形全等的判定定理SAS可證△ABC≌△BAD，得到∠ABC=∠BAD，即△AOB是等腰三角形，又已知點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，故OE⊥AB．

解答：解：（1）如果∠BAC=∠ABD，OE⊥AB，那么AC=BD．
證明：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且OE⊥AB，
∴AE=BE，OA=OB，∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC=∠ABD，
∴∠OAC=∠OBD，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．

（2）如果AC=BD，∠BAC=∠ABD，那么OE⊥AB．
證明：∵AC=BD，∠BAC=∠ABD，且AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．