Question

分解因式：

（1）x⁹+x⁶+x³﹣3；

（2）（m²﹣1）（n²﹣1）+4mn；

（3）（x+1）⁴+（x²﹣1）²+（x﹣1）⁴；

（4）a³b﹣ab³+a²+b²+1．

 

Answer 1

【答案】

（1）（x﹣1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）

（2）（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）

（3）（3x²+1）（x²+3）

（4）（a²﹣ab+1）（b²+ab+1）

【解析】

試題分析：（1）首先將﹣3拆成﹣1﹣1﹣1，多項式變?yōu)椋▁⁹﹣1）+（x⁶﹣1）+（x³﹣1），然后分別利用公式法分解因式即可求解；

（2）首先將4mn拆成2mn+2mn，多項式變?yōu)椋╩²n²+2mn+1）﹣（m²﹣2mn+n²），然后分別利用公式法分解因式即可求解；

（3）首先將（x²﹣1）²拆成2（x²﹣1）²﹣（x²﹣1）²，多項式變?yōu)閇（x+1）⁴+2（x+1）²（x﹣1）²+（x﹣1）⁴]﹣（x²﹣1）²，然后利用公式法分解因式即可求解；

（4）首先添加兩項+ab﹣ab，多項式變?yōu)椋╝³b﹣ab³）+（a²﹣ab）+（ab+b²+1），然后分別分解因式，接著提取公因式即可求解．

解：（1）原式=x⁹+x⁶+x³﹣1﹣1﹣1

=（x⁹﹣1）+（x⁶﹣1）+（x³﹣1）

=（x³﹣1）（x⁶+x³+1）+（x³﹣1）（x³+1）+（x³﹣1）

=（x³﹣1）（x⁶+2x³+3）

=（x﹣1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）；

（2）原式=（m²﹣1）（n²﹣1）+2mn+2mn

=m²n²﹣m²﹣n²+1+2mn+2mn

=（m²n²+2mn+1）﹣（m²﹣2mn+n²）

=（mn+1）²﹣（m﹣n）²

=（mn+m﹣n+1）（mn﹣m+n+1）；

（3）原式=（x+1）⁴+2（x²﹣1）²﹣（x²﹣1）²+（x﹣1）⁴

=[（x+1）⁴+2（x+1）²（x﹣1）²+（x﹣1）⁴]﹣（x²﹣1）²

=[（x+1）²+（x﹣1）²]²﹣（x²﹣1）²

=（2x²+2）²﹣（x²﹣1）²=（3x²+1）（x²+3）；

（4）原式=a³b﹣ab³+a²+b²+1+ab﹣ab

=（a³b﹣ab³）+（a²﹣ab）+（ab+b²+1）

=ab（a+b）（a﹣b）+a（a﹣b）+（ab+b²+1）

=a（a﹣b）[b（a+b）+1]+（ab+b²+1）

=[a（a﹣b）+1]（ab+b²+1）

=（a²﹣ab+1）（b²+ab+1）．

考點：因式分解-分組分解法；因式分解-提公因式法．

點評：此題主要考查了利用分組分解法分解因式，其中（4）是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab﹣ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．