Question

在平面直角坐標系中，把矩形OABC的邊OA、OC分別放在x軸和y軸的正半軸上，已知OA=，OC=2．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標；
（2）將矩形OABC繞點O逆時針旋轉x°，得到矩形OA₁B₁C₁，其中點A的對應點為點A₁．
①當0＜x＜90時，設AC交OA₁于點K（如圖1），若△OAK為等腰三角形，請直接寫出x的值；
②當x=90時（如圖2），延長AC交A₁C₁于點D，求證：AD⊥A₁C₁；
③當點B₁落在y軸正半軸上時（如圖3），設BC與OA₁交于點P，求過點P的反比例函數(shù)的解析式；并探索：該反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過矩形OABC的對稱中心？請說明理由．

Answer 1

解：（1）A（），B（），C（0，2）．

（2）①x的值為30°或75°，
②由題意得：△OAC≌△OA₁C₁．
∴∠OAC=∠OA₁C₁．
∴∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，
∴∠ADC₁=90°，
∴AD⊥A₁C₁
③在Rt△OA₁B₁中，
∵，
∴，
∴∠A₁OB₁=30°
在Rt△OCP中，
∴．
設反比例函數(shù)為，把代入，得，即．
設矩形OABC的對角線OB、AC相交于點Q，則Q是矩形OABC的對稱中心，且點Q的坐標為．
把代入，得．
∴反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過矩形OABC的對稱中心．
分析：（1）由已知OA=，OC=2．可直接得出A、B、C三點的坐標；
（2）①根據(jù)△OAK為等腰三角形，利用等腰三角形的性質可求的x的值為30°或75；
②由題意得：△OAC≌△OA₁C₁．然后求證∠OAC+∠OC₁A₁=∠OA₁C₁+∠OC₁A₁=90°，得∠ADC₁=90°即可，
③根據(jù)，利用三角函數(shù)求得∠A₁OB₁=30°，設反比例函數(shù)為，把代入，求得，然后可證反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過矩形OABC的對稱中心．
點評：此題主要考查矩形的性質，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，旋轉的性質，解直角三角形等知識點的理解和掌握，此題綜合性強，有一定的拔高難度，屬于難題．