Question

在平面直角坐標系x0y中，已知二次函數y=a（x-1）²+k的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），AB=4，與y軸交于點C，E為拋物線的頂點，且tan∠ABE=2．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）已知P在第四象限的拋物線上，連接AE交y軸于點M，連接PE交x軸于點N，連接MN，若S_△EAP=3S_△EMN，求點P的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿y軸翻折得到一個新拋物線，A點的對應點為點F，過點C作直線l與新拋物線交于另一點M，與原拋物線交于另一點N，是否存在這樣一條直線，使得△FMN的內心在直線EF上？若存在，求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：代數幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據二次函數解析式確定出對稱軸為直線x=1，再根據AB的長度確定出點A的坐標，再根據tan∠ABE=2求出頂點E的縱坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據點A、E的坐標確定出點M是AE的中點，然后根據等底等高的三角形的面積相等，再根據等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為-2，然后代入拋物線解析式求出橫坐標的長度，從而得解；
（3）求出點C的坐標（0，3），再根據對稱性求出新拋物線的解析式，然后設直線l的解析式為y=kx+3，再與兩拋物線上解析式聯立求解得到點M、N的坐標，過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，再根據點F的坐標判斷出EF⊥x軸，然后根據△FMN的內心在直線EF上，則EF是∠MFN的平分線，從而得到∠MFG=∠NFH，再根據△MGF和△NHF相似，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出k值，從而得解．

解答：解：（1）二次函數y=a（x-1）²+k的對稱軸為直線x=1，
又∵AB=4，
∴點A到y(tǒng)軸的距離為

1

2

×4-1=1，
∴點A的坐標是（-1，0），
∵tan∠ABE=2，
∴

1

2

×4×tan∠ABE=2×2=4，
∴點E的縱坐標為4，
∴頂點E的坐標為（1，4），
∴k=4，
∵點A（-1，0）在二次函數y=a（x-1）²+k的圖象上，
∴a（-1-1）²+4=0，
解得a=-1，
故二次函數的表達式為y=-（x-1）²+4；

（2）如圖1，∵A（-1，0），E（1，4），
∴點M是AE的中點，且M（0，2），
根據等底等高的三角形的面積相等可得，S_△AMN=S_△EMN，
又∵S_△EAP=3S_△EMN，
∴S_△AMN=S_△APN，
根據等底等高的三角形的面積相等可得點P的縱坐標為-2，
∴-（x-1）²+4=-2，
解得x₁=1+

6

，x₂=1-

6

（舍去），
故點P的坐標是（1+

6

，-2）；

（3）存在．
理由如下：如圖2，令x=0，-（0-1）²+4=3，
所以，點C的坐標為（0，3），
根據翻折的性質，拋物線y=-（x-1）²+4沿y軸翻折得到的新拋物線為y=-（x+1）²+4，
∵A點的對應點為點F，
∴點F的坐標為（1，0），
又∵E（1，4），
∴EF⊥x軸，
設直線l的解析式為y=kx+3，
聯立

y=kx+3 y=-(x-1)2+4

，
解得

x1=0 y1=3

（為點C，舍去），

x2=2-k y2=-k2+2k+3

，
∴點N坐標為（2-k，-k²+2k+3），
聯立

y=kx+3 y=-(x+1)2+4

，
解得

x1=0 y1=3

（為點C，舍去），

x2=-2-k y2=-k2-2k+3

，
∴點M的坐標為（-2-k，-k²-2k+3），
過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，
∵△FMN的內心在直線EF上，
∴EF是∠MFN的平分線，
∴∠MFG=∠NFH，
又∵∠MGF=∠NHF=90°，
∴△MGF∽△NHF，
∴

MG

NH

=

FG

FB

，
即

-k2-2k+3

-k2+2k+3

=

1-(-2-k)

2-k-1

，
整理得，k²-2k-3=-（k²-2k+1），
即k²-2k-1=0，
解得k₁=1+

2

，k₂=1-

2

，
∵點M（-2-k，-k²-2k+3）在y軸的右側，點N（2-k，-k²+2k+3）在對稱軸直線x=1的右邊，
∴

-2-k＜0 2-k＞1

，
解得-2＜k＜1，
∴k=1-

2

，
故直線EF的解析式為y=（1-

2

）x+3．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，等底等高的三角形的面積相等，二次函數的對稱性，聯立兩函數解析式求交點坐標，相似三角形的判定與性質，三角形的內心是角平分線的交點，綜合性較強，難度較大，（3）用k表示出點M、N的坐標，從而得到兩相似三角形的邊長是解題的關鍵．