Question

（2012•寧波模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B．
（1）求：二次函數(shù)y₁的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數(shù)y₂，已知二次函數(shù)y₂與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y₁的圖象上時，求OP的長．
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時停止運(yùn)動，P點(diǎn)也同時停止運(yùn)動）．過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動），若P點(diǎn)運(yùn)動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長；
②分別利用當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時，當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），
∴將（0，0），代入得出：
c=0，
將（1，2）代入得出：
a+3=2，
解得：a=-1，
故二次函數(shù)解析式為：y₁=-x²+3x，
∵圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B，
∴0=-x²+3x，
解得：x=0或3，
則B（3，0）；

（2）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴

OP

PD

=

OH

AH

，
即

a

PD

=

1

2

，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=

7

9

；
即OP=

7

9

．

②如圖1：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時，有OF+CN=6，
∵直線AO過點(diǎn)（1，2），
故直線解析式為：y=2x，
當(dāng)OP=t，
則AP=2t，
∵直線AC過點(diǎn)（1，2），（6，0），
代入y=ax+b，

a+b=2 6a+b=0

，
解得：

a=- 2 5 b= 12 5

，
故直線AC的解析式為：y=-

2

5

x+

12

5

，
∵當(dāng)OP=t，QC=2t，
∴QO=6-2t，
∴GQ=-

2

5

（6-2t）+

12

5

=

4

5

t，
即NQ=

4

5

t，
∴OP+PN+NQ+QC=6，
則有3t+2t+

4

5

t=6，
解得：t=

30

29

；
如圖2：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時，有OF+CQ=6，則有3t+2t=6，
解得：t=

6

5

；
如圖3：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時，有OP+CN=6，則有t+2t+

4

5

t=6，
解得：t=

30

19

，
如圖4：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時，有OP+CQ=6，則有t+2t=6，
解得：t=2．
故此刻t的值為：t₁=

30

29

，t₂=

6

5

，t₃=

30

19

，t₄=2．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)已知結(jié)合圖象分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．