Question

設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，求m的值．

Answer 1

解：一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)．令
△=（m-1）²-4m=n²，
其中n是非負(fù)整數(shù)，于是
m²-6m+1=n²，
所以（m-3）²-n²=8，
（m-3+n）（m-3-n）=8．
由于m-3+n≥m-3-n，并且
（m-3+n）+（m-3-n）=2（m-3）
是偶數(shù)，所以m-3+n與m-3-n同奇偶，所以

∴；（舍去）
∴m=6，這時(shí)方程的兩根為，．
∴二次方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根m的值為6．
分析：利用一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問(wèn)題解決．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及整數(shù)的奇偶性和完全平方數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．