Question

如圖，已知中，，，，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），是邊上的點(diǎn)，且∥，延長(zhǎng)與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)，設(shè)，.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；
（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)以為半徑的和以為半徑的外切時(shí)，求的正切值；
（3）當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）∵∥，∴，
∵，，，∴，
∵是邊上的中點(diǎn)，∴，
∵，，∴，∴.
（2）∵以為半徑的和以為半徑的外切，
∴，又，∴，
∴， 又，∴，
∵，∴，∴，
又，∴≌， ∴，
∵，∴，∴，
∵，，是邊上的中點(diǎn)，∴，
∵∥，∴，∴，∴，
（3）∵，當(dāng)與相似時(shí)，
①若時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).
∴，∴，∴，
又，∴.
②若時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).
∴，∴，∴，
又，∴.
綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，的長(zhǎng)為2或.

本題主要考核一次函數(shù)解析式和定義域、三角函數(shù)和相似三角形的判定和性質(zhì)