Question

如圖，Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF。

現(xiàn)將一把直角尺放在給出的圖形上，使直角頂點(diǎn)P在線段EF（包括端點(diǎn)）上滑動(dòng)，直角的
一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一邊與BF相交于G，連結(jié)AP。
（1）求證：PC=PA=PG；
（2）設(shè)EP=，四邊形BCPG的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，現(xiàn)有三個(gè)數(shù)，， 試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪幾個(gè)數(shù)符合值的要求，并求出符合值時(shí)的的值。
（3）當(dāng)直角頂點(diǎn)P滑動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，再將直角尺繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，連結(jié)MN。當(dāng)旋轉(zhuǎn)到使時(shí)，求△APM的周長(zhǎng)。

Answer 1

（1）∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，∴EF=，EF∥BC，
∴EF垂直平分AC，∴AP=PC，
∠ECP=∠EAP；∵∠CPG=90°，∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC
∴∠ECP=∠GPF�！摺螱PF+∠PGF=∠AFE=45°，
∠EAP+∠PAF=45°，∴∠PGF=∠PAF。
∴PA=PG，∴PA=PC=PG。
（2）過(guò)G作PF的垂線，垂足為H，

∵ ∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°∴∠ECP=∠HPH， PC=PG。
則R△PCE≌R△GPH（AAS），∴GH=PE=
∴，
∴ ，或。
∵0≤＜1，∴1＜≤�！�，不符合，所以只有，
∴，，解得，，＞1（舍去），
答當(dāng)時(shí)，的值為。
或①當(dāng)時(shí)，，△＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)時(shí)，，解得，，＞1（舍去），
所以當(dāng)時(shí)，的值為。
③當(dāng)時(shí)，，解得＜0（舍去），＞1（舍去），所以不符合。
（3）連結(jié)CP，則CP⊥AB，
                 
∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），  AM=CN，
則CN=BN，，則，
，解得，，，即或；
∴，，  ∴周長(zhǎng)為，或

解析