Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x 軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；
（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

Answer 1

解：（1）對稱軸是x=-=2，…
∵點A（1，0）且點A、B關于x=2對稱，
∴點B（3，0）；…

（2）點A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，…
設點C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴BD=，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…
∴BP²=BD•BC，
即，
∴，
∴x₁=，x₂=-，
∵點C在y軸的負半軸上，
∴點C（0，），…
∴y=ax²-4ax-，
∵過點（1，0），
∴a-4a-=0，
解得：a=-．
∴解析式是：y=-x²+x-；…

（3）當x=2時，y=，
頂點坐標G是（2，），…
設CG的解析式是：y=kx+b，
∵過點（0，）（2，），
∴，
∴y=x-，…
設CG與x軸的交點為H，
令y=0，則x-=0，
得x=，
即H（，0），…
∴BH=3-=，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC===…
分析：（1）由拋物線y=ax²-4ax+m的對稱軸公式x=-，即可求得其對稱軸，又由點A、B關于對稱軸對稱，即可求得點B的坐標；
（2）由點A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥對稱軸，可得CP∥AB，易證得四邊形ABPC是平行四邊形，然后設點C（0，x）（x＜0），證得△BPD∽△BCP，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得x的值，又由二次函數過點A與C，利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得拋物線頂點G坐標，然后設CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系數法即可求得CG的解析式，則可求得H的坐標，又由S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC，即可求得△BCG的面積．
點評：此題考查了二次函數對稱軸的求解方法，二次函數的對稱性，待定系數法求函數的解析式，三角形面積的求解方法以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．