Question

（2001•北京）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，對(duì)角線CA平分∠BCD，且梯形的周長(zhǎng)為20，求AC的長(zhǎng)及梯形面積S．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等和角平分線的定義，求得∠ABC=60°，∠ACB=∠CD=30°．根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到梯形的各邊之間的關(guān)系，根據(jù)周長(zhǎng)列方程求得各邊，再計(jì)算它的高，就可求得其面積．
解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，對(duì)角線CA平分∠BCD，
∴∠B=∠BCD=60°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°
∴∠BAC=90°
設(shè)AB=CD=x，則AD=x，BC=2x．
所以x+x+x+2x=20，x=4．
AC=AB=4
作AE⊥BC于E，則AE=AC=2．
則梯形的面積=（4+8）×2=12．
即AC的長(zhǎng)為，梯形面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查與梯形有關(guān)的問題，能夠根據(jù)角的度數(shù)發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形和等腰三角形，從而找到各邊之間的關(guān)系，再進(jìn)行計(jì)算．