Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′．
①寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；
②將直線l繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2 ， 當(dāng)d1+d2最大時，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1和3，

∵M(jìn)在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，

∴0＜m＜3，

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，

由題意知：M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），

∴D的縱坐標(biāo)為：﹣m2+2m+3，

∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，

∴x= ，

∴D的坐標(biāo)為（ ，﹣m2+2m+3），

∴DM=m﹣ = ，

∴S= DMBE+ DMOE

= DM（BE+OE）

= DMOB

= × ×3

=

= （m﹣ ）2+

∵0＜m＜3，

∴當(dāng)m= 時，

S有最大值，最大值為 ；

（3）

解：①由（2）可知：M′的坐標(biāo)為（ ， ）；

②

過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，

根據(jù)題意知：d1+d2=BF，

此時只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，

設(shè)直線AM′與該圓相交于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)C在線段BM′上，

∴F在優(yōu)弧 上，

∴當(dāng)F與M′重合時，

BF可取得最大值，

此時BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

過點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，

設(shè)BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，所以△ABM的面積為 DMOB，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；
②過點(diǎn)M′作直線l1∥l′，過點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點(diǎn)F在以BM′為直徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)F與M′重合時，BF可取得最大值．本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式，求三角形面積，圓的相關(guān)性質(zhì)等知識，內(nèi)容較為綜合，學(xué)生需要認(rèn)真分析題目，化動為靜去解決問題．