Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（m-4,0）和B(m,0)，與直線y=-x+p相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C(2m-4,m-6).

(1)求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且以點(diǎn)P和A,C以及另一點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的平行四邊形ACQP面積為12，求點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)；

（3）在（2）條件下，若點(diǎn)M是x軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)⊿PQM的面積最大時(shí)，請(qǐng)求出⊿PQM的最大面積及點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直線y=-x+p上

∴　　 -(m-4)+p=0　　　　　　　　　　　 m=3

　　　 -(2m-4)+p=m-6,　　　　　 解得： p=-1

∴A(-1,0)　 B(3,0),　 C(2,-3)

　　　 設(shè)拋物線y=ax²+bx+c=a(x-3)(x+1),

∵C(2,-3)　 ∴a=1

∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3

（2）AC=3,AC所在直線的解析式為：y=-x-1，∠BAC=45⁰

∵平行四邊形ACQP的面積為12.

∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為=2

過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點(diǎn)K,DK= 2,∴DN=4

∵ACPQ,PQ所在直線在直線ACD的兩側(cè)，可能各有一條，

∴PQ的解析式或?yàn)?i>y=-x+3或y=-x-5

∴　 y=x²-2x-3

y=-x+3

解得： x₁=3　　 或　 x₂=-2

　　 y₁=0　　　　　 y₂=5

y=x²-2x-3

y=-x-5　　 方程組無(wú)解。

即P₁(3,0), P₂(-2,5)

∵ACPQ是平行四邊形 ，A(-1,0)　　 C(2,-3)

∴當(dāng)P(3,0)時(shí)，Q(6，-3)

當(dāng)P(-2,5)時(shí)，Q(1，2)

∴滿足條件的P,Q點(diǎn)是P₁(3,0), Q₁(6，-3)或 P₂(-2,5)，Q₂(1，2)

（4）　 設(shè)M(t,t²-2t-3),(-1＜t＜3),過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交PQ所在直線雨點(diǎn)T,則T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-( t²-2t-3)=- t²+t+6

過(guò)點(diǎn)M作MS⊥PQ所在直線于點(diǎn)S，

MS=MT= (- t²+t+6)=- (t-)²+

∴當(dāng)t=時(shí)，M（，-），⊿PQM中PQ邊上高的最大值為