Question

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點(diǎn)A，B．
（1）如圖一，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度比點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度慢，經(jīng)過1秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0），此時(shí)PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大��；
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停留在點(diǎn)（2，0）處不動(dòng)，求點(diǎn)Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)
（2）關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．

解答：解：（1）如圖一，連接AQ．
由題意可知：OQ=OA=1．
∵OP=2，
∴A為OP的中點(diǎn)．
∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)Q，
∴△OQP為直角三角形．
∴AQ=

1

2

OP=1=OQ=OA．
即△OAQ為等邊三角形．
∴∠QOP=60°．

（2）由（1）可知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)經(jīng)過的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，那么再過5秒，則Q點(diǎn)落在⊙O與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)處（如圖二）．設(shè)直線PQ與⊙O的另外一個(gè)交點(diǎn)為D，
過O作OC⊥QD于點(diǎn)C，則C為QD的中點(diǎn)．
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，
∴QP=

12+22

=

5

．
∵

1

2

OQ•OP=

1

2

QP•OC，
∴OC=

2

5

=

2 5

5

．
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=

2 5

5

，
∴QC=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
∴QD=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓中動(dòng)點(diǎn)問題，以及切線的性質(zhì)定理．勾股定理，綜合性較強(qiáng)，題目比較新穎．