Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△AOB的斜邊OB在x軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，3)，AD為斜邊上的高．拋物線y＝ax²＋2x與直線y＝x交于點(diǎn)O、C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6．點(diǎn)P在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交射線OA于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，以A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．

1.求OA所在直線的解析式

2.求a的值

3.當(dāng)m≠3時(shí)，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

4.如圖②，設(shè)直線PE交射線OC于點(diǎn)R，交拋物線于點(diǎn)Q．以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQMN，其中RN＝．直接寫出矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)直線的解析式為.

點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）.

.　解得.

直線的解析式為

2.當(dāng)時(shí)，.

點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，3)，

拋物線過(guò)點(diǎn)（6，3）

.　解得

3.根據(jù)題意，.

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，軸交于點(diǎn)，

.當(dāng)時(shí)，如圖①，

＝.…………7分

當(dāng)時(shí)，如圖②，

4.或或.

提示：

如圖③，時(shí)，，……………………………………11分

如圖④，所在的直線為矩形的對(duì)稱軸時(shí)，，…………………12分

如圖⑤，與重合時(shí)，重疊部分為等腰直角三角形，；………13分

如圖⑥，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，.　所以.…………………14分

 

 

 

【解析】（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出正比例函數(shù)直線OA的解析式；

（2）根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及直線OC的解析式，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)a的值；

（3）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OD、AD的長(zhǎng)，由于△OAB是等腰直角三角形，即可確定OB的長(zhǎng)；欲求四邊形ABDE的面積，需要分成兩種情況考慮：

①0＜m＜3時(shí)，P點(diǎn)位于線段OD上，此時(shí)陰影部分的面積為△AOB、△ODE的面積差；

②m＞3時(shí)，P點(diǎn)位于D點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)陰影部分的面積為△OAB、△OAD的面積差；

根據(jù)上述兩種情況陰影部分的面積計(jì)算方法，可求出不同的自變量取值范圍內(nèi)，S、m的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對(duì)稱圖形，首先要找出其對(duì)稱軸；

①由于直線OA的解析式為y=x，若設(shè)QM與OA的交點(diǎn)為H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么當(dāng)四邊形QRNM是正方形時(shí)，重合部分是軸對(duì)稱圖形，此時(shí)的對(duì)稱軸為QN所在的直線；可得QR=RN，由此求出m的值；

②以QM、RN的中點(diǎn)所在直線為對(duì)稱軸，此時(shí)AD所在直線與此對(duì)稱軸重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；

③當(dāng)P、D重合時(shí)，根據(jù)直線OC的解析式y(tǒng)=x知：RD=；此時(shí)R是AD的中點(diǎn)，由于RN∥x軸，且RN=DB，所以N點(diǎn)恰好位于AB上，RN是△ABD的中位線，此時(shí)重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，所以此種情況也符合題意，此時(shí)OP=OD=3，即m=3；當(dāng)R在AB上時(shí)，根據(jù)直線OC的解析式可用m表示出R的縱坐標(biāo)，即可得到PR、PB的表達(dá)式，根據(jù)PR=PB即可求出m的值；根據(jù)上述三種軸對(duì)稱情況所得的m的值，及R在AB上時(shí)m的值，即可求得m的取值范圍