Question

已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O 重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．

（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數(shù)是

20°

；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時(shí)，x=

120°

；當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，x=

60°

．
（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，分類(lèi)討論的思想．

解答：解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案為：①20     ②120，60

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，
若∠BAD=∠ABD，則x=20            
若∠BAD=∠BDA，則x=35            
若∠ADB=∠ABD，則x=50
②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時(shí)，因?yàn)椤螦BE=110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此時(shí)x=125．     
綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，
且x=20、35、50、125．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．