Question

（2013•安徽模擬）如圖，△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點O，過點O作OE⊥BC于E點，
（1）求證：∠BOD=∠COE．
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形內(nèi)心性質(zhì)及相關知識，求OE長．

Answer 1

分析：（1）在△AOF中，利用三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，可以利用∠ACB表示出∠AOF，則∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的兩個內(nèi)角互余以及角平分線的定義，即可利用∠ACB表示出∠COE，從而證得結(jié)論．
（2）先判斷為直角三角形，用面積法或直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出OE=3．

解答：（1）證明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=

1

2

∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC+∠ACB]
=180°-[

1

2

（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[

1

2

（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+

1

2

∠ACB]
=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-

1

2

∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．

（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC²+BC²=289，
AB²=289，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴EO=

8+15-17

2

=3．

點評：本題主要考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理以及直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式等知識，正確求得∠AOF是關鍵．