Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點C和D，在直線l₃上有點P（點P與點C、D不重合），點A在直線l₁上，點B在直線l₂上．
（1）如果點P在C、D之間運動時，試說明∠PAC+∠PBD=∠APB；
（2）如果點P在直線l₁的上方運動時，試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？
（3）如果點P在直線l₂的下方運動時，∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？______（直接寫出結論）

Answer 1

解：（1）過點P作PE∥l₁，
∴∠APE=∠PAC，
又∵l₁∥l₂，∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，即∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB=∠PBD-∠PAC，

理由是：過點P作PE∥l₁，如圖1所示，
∴∠APE=∠PAC，
又∵l₁∥l₂，∴PE∥l₂，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APB=∠BAE+∠APE，即∠APB=∠PBD-∠PAC；

（3）∠PAC=∠PBD+∠APB．
故答案為：∠PAC=∠PBD+∠APB
分析：（1）過P點作PE∥l₁，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由與平行線中的一條平行，與另一條也平行得到PE∥l₂，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）∠APB=∠PBD-∠PAC，如圖1所示，過點P作PE∥l₁，同理即可得證；
（3）∠APB=∠PAC+∠PBD，如圖2所示，過點P作PE∥l₁，同理即可得證．
點評：此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．