Question

已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，過點D作⊙O的切線交BC邊于點E．
（1）如圖，求證：EB=EC=ED；
（2）試問在線段DC上是否存在點F，滿足BC²=4DF•DC？若存在，作出點F，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BD，已知ED、EB都是⊙O的切線，由切線長定理可證得OE垂直平分BD，而BD⊥AC（圓周角定理），則OE∥AC；由于O是AB的中點，可證得OE是△ABC的中位線，即E是BC中點，那么Rt△BDC中，DE就是斜邊BC的中線，由此可證得所求的結(jié)論；
（2）由（1）知：BC=2BE=2DE，則所求的比例關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為（

BC

2

）²=DF•DC，即DE²=DF•DC，那么只需作出與△DEC相似的△DFE即可，這兩個三角形的公共角為∠CDE，只需作出∠DEF=∠C即可；
①∠DEC＞∠C，即180°-2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°時，∠DEF的EF邊與線段CD相交，那么交點即為所求的F點；
②∠DEC=∠C，即180°-2∠C=∠C，∠C=60°時，F(xiàn)與C點重合，F(xiàn)點仍在線段CD上，此種情況也成立；
③∠DEC＜∠C，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°時，∠DEF的EF邊與線段的延長線相交，與線段CD沒有交點，所以在這種情況下不存在符合條件的F點．

解答：（1）證明：連接BD．
由于ED、EB是⊙O的切線，由切線長定理，得
ED=EB，∠DEO=∠BEO，
∴OE垂直平分BD．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BD．
∴AD∥OE．
即OE∥AC．
又O為AB的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴BE=EC，
∴EB=EC=ED．（4分）

（2）解：在△DEC中，由于ED=EC，
∴∠C=∠CDE，
∴∠DEC=180°-2∠C．
①當(dāng)∠DEC＞∠C時，有180°-2∠C＞∠C，即0°＜∠C＜60°時，在線段DC上存在點F
滿足條件．
在∠DEC內(nèi)，以ED為一邊，作∠DEF，使∠DEF=∠C，且EF交DC于點F，則點F即為所求．
這是因為：
在△DCE和△DEF中，
∠CDE=∠EDF，∠C=∠DEF，
∴△DEF∽△DCE．
∴DE²=DF•DC．
即（

1

2

BC）²=DF•DC
∴BC²=4DF•DC．（6分）
②當(dāng)∠DEC=∠C時，△DEC為等邊三角形，即∠DEC=∠C=60°，
此時，C點即為滿足條件的F點，于是，DF=DC=DE，仍有BC²=4DE²=4DF•DC．（7分）
③當(dāng)∠DEC＜∠C時，即180°-2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°；所作的∠DEF＞∠DEC，此時點
F在DC的延長線上，故線段DC上不存在滿足條件的點F．（8分）

點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線長定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）題一定要注意“線段DC上是否存在點F”的條件，以免造成多解．