Question

己知：如圖10．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC干點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DF⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD。

（1）求證：∠DAC=∠DBA

（2）求證：P處線段AF的中點(diǎn)

（3）若⊙O的半徑為5，AF=，求tan∠ABF的值。

 

Answer 1

（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA  

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD        （1分）

∴∠DAC =∠DBA                                             （2分）

（2）∵AB為直徑，∴∠ADB=90°                               （3分）

又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB=90°

∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP                                          （4分）

∴PD=PA                                                      （5分）

又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC

∴∠PDF=∠PFD                                                （6分）

∴PD=PF

∴PA= PF，即P是線段AF的中點(diǎn)                                （7分）

（3）∵∠DAF =∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°

     ∴△FDA ∽△ADB                                         （8分）

     ∴                                             （9分）

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD=

即tan∠ABF=                                                （10分）