Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F。

（1）求OA、OC的長(zhǎng)；

（2）求證：DF為⊙O′的切線；

（3）小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形。由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙O′外”。你同意他的看法嗎？請(qǐng)充分說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）OC=3，  OA=5

（2）證明略

（3）略

【解析】（1）在矩形OABC中，設(shè)OC=x  則OA= x+2，依題意得

          解得：

（不合題意，舍去）    ∴OC=3，  OA=5 ……………3分

（2）連結(jié)O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=

∴ △OCE≌△ABE   ∴EA=EO    ∴∠EOA=∠EAO

在⊙O′中，  ∵ O′O= O′D      ∴∠EOA=∠O′DO

 ∴∠O′DO =∠EAO      ∴O′D∥AE，    

∵DF⊥AE     ∴ DF⊥O′D

又∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑 ，∴DF為⊙O′切線．……………6分

不同意. 理由如下:

①當(dāng)AO=AP時(shí)，

以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點(diǎn)

過P1點(diǎn)作P1H⊥OA于點(diǎn)H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5

∴A H = 4， ∴OH =1        

求得點(diǎn)P1（1，3）    同理可得：P4（9，3）…………8分

②當(dāng)OA=OP時(shí)，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）

因此，在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P1，又存在⊙O′外的點(diǎn)P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．……………10分