Question

如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，＝，BF和AD交于點E．

求證：AE＝BE．

Answer 1

答案：
解析：

聯(lián)想一：當(dāng)已知條件中有“直徑”時，可聯(lián)想直徑所對的圓周角，故可連接AB、AC． 　　證法一：如下圖，連接AB、AC． 　　因為BC是直徑， 　　所以∠BAC＝90°． 　　所以∠C＋∠ABC＝90°． 　　又因為AD⊥BC，所以∠2＋∠ABC＝90°． 　　所以∠2＝∠C． 　　又因為＝，所以∠C＝∠1． 　　所以∠1＝∠2．所以AE＝BE． 　　聯(lián)想二：當(dāng)已知條件中有“垂徑”時，可聯(lián)想垂徑定理，故可把半圓補(bǔ)為整圓． 　　證法二：如下圖，連接AB，將半圓補(bǔ)成一個整圓，延長AD交⊙O于點G，連接BG． 　　因為BC是直徑，AD⊥BC，所以＝． 　　又因為＝，所以＝． 　　所以∠1＝∠A． 　　所以AE＝BE． 　　聯(lián)想三：當(dāng)已知條件中有“等弧”時，可聯(lián)想垂徑定理的推論，故可作弦的“垂徑”． 　　證法三：如下圖，連接OA，交BF于點G． 　　因為＝，所以OA⊥BF． 　　又因為AD⊥BC，OA＝OB，∠AOB為公共角，所以△ADO≌△BGO． 　　所以OD＝OG． 　　所以BD＝AG． 　　又因為∠AEG＝∠BED，AD⊥BC，OA⊥BF，所以△BDE≌△AGE． 　　所以AE＝BE． 　　聯(lián)想四：當(dāng)已知條件中有多個點在圓上時，可聯(lián)想四點共圓，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，進(jìn)而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來求解． 　　證法四：如圖，連接AB、AF，連接CF并延長． 　　因為BC是直徑，所以∠BFC＝90°． 　　又因為AD⊥BC，所以∠1＋∠2＋∠3＝90°． 　　從而∠1＝90°－(∠2＋∠3)． 　　因為點A、B、C、F在圓上，所以∠4＝∠ABC＝∠2＋∠3． 　　所以∠4＋∠1＝90°． 　　又∠4＋∠5＝90°，所以∠1＝∠5． 　　又因為＝，所以∠2＝∠5． 　　所以∠1＝∠2．所以AE＝BE． 　　點評：證法四運用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)——圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的內(nèi)對角，即∠4＝∠ABC＝∠2＋∠3．