Question

如圖，已知直線y=4-x與反比例函數(shù)y=（m＞0，x＞0）的圖象交于A，B兩點，與x軸，y軸分別相交于C，D兩點．
（1）如果點A的橫坐標為1，利用函數(shù)圖象求關于x的不等式4-x＜的解集；
（2）是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點坐標，把將A（1，3）代入y=求出m，聯(lián)立函數(shù)解析式求出B點坐標，進而求出不等式的解集；
（2）點A、B在直線y=4-x上，則可設A（a，4-a），B（b，4-b）；以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1，0），則由圓周角定理得∠APB=90°，易證Rt△ADP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的關系式為：5（a+b）-2ab=17 ①；而點A、B又在雙曲線上，可推出a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．
解答：解：（1）將x=1代入直線y=4-x得，y=4-1=3，
則A點坐標為（1，3），
將A（1，3）代入y=（m＞0，x＞0）得，
m=3，
則反比例函數(shù)解析式為y=，
組成方程組得，
解得，x₁=1，x₂=3，則B點坐標為（3，1）．
當不等式4-x＜時，x＜1或x＞3．

（2）點A、B在直線y=4-x上，則可設A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右圖所示，過點A作AD⊥x軸于點D，則AD=4-a，PD=1-a；
過點B作BE⊥x軸于點E，則BE=4-b，PE=b-1．
∵點P在以AB為直角的圓上，
∴∠APB=90°（圓周角定理）．
易證Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴，即，
整理得：5（a+b）-2ab=17   ①
∵點A、B在雙曲線y=上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a²-4a+m=0，b²-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的兩個根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=．
∴存在以AB為直徑的圓經(jīng)過點P（1，0），此時m=．
點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關鍵是熟練反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質，解答本題（2）問的時候一定注意三點構成圓的條件，此題難度較大．