Question

（2012•南崗區(qū)二模）在平面直角坐標系中，0為坐標原點，點M的坐標為（4，3），以M為圓心，以M0為半徑作⊙M，分別交x軸、y軸于B、A兩點．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點P（x，0）為x軸正半軸上一點，過點P作x軸的垂線，分別交直線AB、線段OM于點D、E，過點E作y軸的垂線交直線AB于點F．設(shè)線段DF的長為y（y＞0），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在x的值，使得經(jīng)過D、E、M三點的圓與△AOB三邊中某一邊所在的直線相切？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A，B坐標，進而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用OP=x，得出PE=

3

4

x，p（x，-

3

4

x+6）即可得出DE的長，再利用tan∠AFE=tan∠ABO，得出DF與DE關(guān)系求出即可；
（3）分別根據(jù)①當⊙G與y軸相切時以及②當⊙G與x軸相切時，③利用∠GTD=90°，則DG＞GT，得出⊙G始終與直線AB相交，即可得出符合要求的答案．

解答：解：（1）過點M作MH⊥x軸于點H，過點M作MK⊥y軸于點K．
則OB=2OH，OA=2OK
∵M（4，3），
∴OB=8，OA=6，
∴B（8，0），A（6，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∴

b=6 8k+b=0

，
解得

b=6 k=- 3 4

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6，

（2）∵M（4，3），
∴tan∠MOH=

MH

OH

=

3

4

，
∵OP=x，
∴PE=

3

4

x，p（x，-

3

4

x+6）
∴DE=PD-PE=-

3

4

x+6-

3

4

x=-

3

2

x+6，
∵EF∥OB，
∴∠OBA=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠ABO=

AO

OB

=

6

8

=

3

4

，
∴DF=

5

3

DE=

5

3

(-

3

2

x+6），
∴y=-

5

2

x+10（0＜x＜4）；

（3）∵∠MDE=∠MED，∴△DEM是等腰三角形，設(shè)△DEM在外接圓圓心為G，
過點M作MQ⊥DE于點Q，則此圓的圓心G一定在MQ上．
①當⊙G與y軸相切時，
如圖1，則⊙G的半徑GM=GD=2，過G作GT⊥AB于T，
可求DM=

16

5

，QM=4-x
cos∠DMQ=

MQ

MD

=

4-x

16 5

=

4

5

，
解得：x=

36

25

，
②當⊙G與x軸相切時，
如圖2，則⊙G的半徑GM=GD=

3

2

，過G作GT′⊥AB于T′，
可求DM=

24

5

，QM=4-x
cos∠DMQ=

MQ

MD

=

4-x

24 5

=

4

5

，
解得：x=

4

25

，
③∵∠GTD=90°，
∴DG＞GT，
∴⊙G始終與直線AB相交．
綜上所述：當x=

36

25

或x=

4

25

時，過D、E、M三點的圓與△AOB的一邊所在的直線相切．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．