如圖,Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,連接CC′交斜邊于點(diǎn)E,CC′的延長(zhǎng)線交BB′于點(diǎn)F.
(1)若AC=3,AB=4,求
CC′BB′
;
(2)證明:△ACE∽△FBE;
(3)設(shè)∠ABC=α,∠CAC′=β,試探索α、β滿足什么關(guān)系時(shí),△ACE與△FBE是全等三角形,并說(shuō)明理由.
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分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證得:△ACC′∽△ABB′,即可求解;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證得:AC=AC′,AB=AB′,∠CAB=∠C′AB′,再根據(jù)∠AEC=∠FEB即可證明兩個(gè)三角形相似;
(3)當(dāng)β=2α?xí)r,△ACE≌△FBE.易證∠ABC=∠BCE,再根據(jù)CE=BE,即可證得.
解答:(1)解:∵AC=AC′,AB=AB′,
AC′
AC
=
AB′
AB

由旋轉(zhuǎn)可知:∠CAB=∠C′AB′,
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′,即∠CAC′=∠BAB′,
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°,
∴△ACC′∽△ABB′,
∵AC=3,AB=4,
CC′
BB′
=
AC
AB
=
3
4
;

(2)證明:∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,
∴AC=AC′,AB=AB′,∠CAB=∠C′AB′,(1分)
∴∠CAC′=∠BAB′,
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C,
∴∠ACC′=∠ABB′,(3分)
又∵∠AEC=∠FEB,
∴△ACE∽△FBE.(4分)

(3)解:當(dāng)β=2α?xí)r,△ACE≌△FBE.理由:
在△ACC′中,精英家教網(wǎng)
∵AC=AC′,
∴∠ACC′=∠AC′C=
180°-∠CAC′
2
=
180°-β
2
=
180°-2α
2
=90°-α,(6分)
在Rt△ABC中,
∠ACC′+∠BCE=90°,
即90°-α+∠BCE=90°,
∴∠BCE=90°-90°+α=α,
∵∠ABC=α,
∴∠ABC=∠BCE,(8分)
∴CE=BE,
由(2)知:△ACE∽△FBE,
∴△ACE≌△FBE.(9分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),三角形全等的判定與應(yīng)用,正確理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,Rt△AB′C′是Rt△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的,其中AB=1,BC=2,則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中弧CC′的長(zhǎng)為(  )
A、
5
2
π
B、
5
2
π
C、5π
D、
5
π

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如圖,Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,連結(jié)CC′交斜邊于點(diǎn)E,CC′的延長(zhǎng)線交BB′于點(diǎn)F.證明:
(1)∠CAC′=∠BAB′;
(2)△ACE∽△FBE.

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(1)證明:∠ACE=∠FBE;
(2)設(shè)∠ABC=α,∠CAC′=β,若△ACE≌△FBE,試探索α、β滿足什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.

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CC′
的長(zhǎng)為
 

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