Question

閱讀并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，則有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=

1+ 17

4

，x₂=

1- 17

4

，則有x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-

7

3

，x₂=1，則有x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．
（1）根據(jù)以上①②③請你猜想：如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根為x₁，x₂，那么x₁，x₂與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請寫出你的猜想并證明你的猜想；
（2）利用你的猜想結(jié)論，解決下面的問題：
已知關(guān)于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有實數(shù)根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由①②③中兩根之和與兩根之積的結(jié)果可以看出，兩根之和正好等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積正好等于常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．
（2）欲求k的值，先把代數(shù)式x₁²+x₂²變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求k值．

解答：解：（1）猜想為：設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
理由：設(shè)x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，
那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

，
綜上得，設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．

（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩個實數(shù)根
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴[-（2k+1）]²-2×（k²-2）=11
整理得k²+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]²-4（k²-2 ）≥0，解得k≥-

9

4

，
∴k=1．

點評：本題考查了學(xué)生的總結(jié)和分析能力，善于總結(jié)，善于發(fā)現(xiàn)，學(xué)會分析是學(xué)好數(shù)學(xué)必備的能力．
將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．