Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形AOBC的位置圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別在線段AC、線段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△MON的面積達(dá)到最大時(shí)，存在一種使得△MON周長最小的情況，則此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】M（3，4）．

【解析】

試題分析：過點(diǎn)M作MP∥OA，交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點(diǎn)Q、G，則S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，因?yàn)镼N取得最大值是QN=OB時(shí)，△MON的面積最大值=OAOB，設(shè)O關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接DB，交AC于M，此時(shí)△OMN面積最大，周長最小．

解：如圖，過點(diǎn)M作MP∥OA，交ON于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點(diǎn)Q、G，

則S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，QN取得最大值OB時(shí)，△MON的面積最大值=OAOB，

設(shè)O關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接DB，交AC于M，

此時(shí)△MON的面積最大，周長最短，

∵AM∥BO

∴=，即=

∴AM=3，

∴M（3，4）．