Question

操作：如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（與C、D不重合），使三角板的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經過點B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E．

 探究：①觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC相似，寫出你的結      論，（找出兩對即可）；并選擇其中一組說明理由；

②當點P位于CD的中點時，直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比．

 

Answer 1

解：分兩種情況：

①如圖（1），

∵∠BPE=90°，

∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，

∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，

∴△BPC∽△PED．

如圖（2），同理可證△BPC∽△BEP∽△PCE．

②如圖（1），∵△BPC∽△PED，

∴△PED與△BPC的周長比等于對應邊的比，即PD與BC的比，

∵點P位于CD的中點，

∴PD與BC的比為1：2，

∴△PED與△BPC的周長比1：2，

△PED與△BPC的面積比1:4

如圖（2），∵△BPC∽△BEP，

∴△BEP與△BPC的周長比等于對應邊的比，即BP與BC的比，

∵點P位于CD的中點，

設BC=2k，則PC=k，BP=k，

∴BP與BC的比為：2，

△BEP與△BPC的周長比為：2，△BEP與△BPC的面積比為5：4．

同理：△PCE∽△BPC，周長比1：2，面積比1：4．