Question

（2013•廣陽(yáng)區(qū)一模）九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組近期開展了對(duì)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的探究．小明同學(xué)提供了一個(gè)這樣的背景：如圖，在?ABCD中，AB=AC=10cm，sin∠ACB=

4

5

，動(dòng)點(diǎn)O從A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段EF從與線段CB重合的位置出發(fā)以1cm/s的速度沿BA方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EF交AC于點(diǎn)G，連接OE、OF．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜10），請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)G重合？
（2）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)G不重合時(shí)，判斷△OEF的形狀，并說(shuō)明理由．             
（3）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，
    ①在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形BCEOF的面積是否為定值？如果是，求出五邊形BCEOF的面積；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
    ②△EOG的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可得出CE=CG，用含t的式子表示出CG、AO，再由點(diǎn)O與點(diǎn)G重合時(shí)CG+AO=AC=10cm，可得出t的值；
（2）由（1）可知CE=AO，判斷四邊形BCEF為平行四邊形，然后證明△AFO≌△COE，繼而可得出結(jié)論．
（3）①S_{五邊形BCEOF}=S_{四邊形BCOF}+S_△COE，由（2）知：△AFO≌△COE，S_{五邊形BCEOF}=S_{四邊形BCOF}+S_△AFO=S_△ABC，確定△ABC的面積即可；
②判斷△ECG∽△FAG，由對(duì)應(yīng)邊成比例，可得EG=

6

5

t，然后求出△EOG的邊EG上的高，用含t的式子表示出△EOG的度數(shù)，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）在平行四邊形ABCD中，DC=AB，DA∥CB，
∵AB=AC，
∴AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵EF∥CB，
∴DA∥EF，
∴∠CEG=∠CDA，∠CGE=∠CAD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∴CE=CG=AO=t，
∴當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)G重合時(shí)，t+t=10，
解得：t=5；

（2）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)G不重合時(shí)△OEF為等腰三角形，
理由：由（1）知：CE=AO，平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OAF=∠OCE，
∵EF∥CB，
∴四邊形BCEF為平行四邊形，
∴BF=EC=t，
∴AF=OC=10-t，
∴△AFO≌△COE，
∴FO=OE，
∴△OEF為等腰三角形；

（3）①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，五邊形BCEOF的面積為定值，
S_{五邊形BCEOF}=S_{四邊形BCOF}+S_△COE，
由（2）知：△AFO≌△COE，
∴S_{五邊形BCEOF}=S_{四邊形BCOF}+S_△AFO=S_△ABC，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，在Rt△AHC中，AH=AC•sin∠ACB=10×

4

5

=8，
則CH=6，在△ABC中，AB=AC，
∴BC=2CH=12，
∴S_{五邊形BCEOF}=S_△ABC=

1

2

×12×8=48（cm³），
②當(dāng)0＜t＜5時(shí)，△EOG的面積存在最大值，
∵EC∥AF，
∴△ECG∽△FAG，
∴

EG

GF

=

EC

AF

，即

EG

12-EG

=

t

10-t

，
∴EG=

6

5

t，
分別過(guò)點(diǎn)G，O作GN⊥CB，OM⊥CB垂足分別為N，M，
∵CG=t，OC=10-t，
在Rt△OGN中，GN=CG•sin∠ACB=

4

5

t，
在Rt△OCM中，OM=OC•sin∠ACB=

4

5

（10-t），
∴△EOG的邊EG上的高為

4

5

（10-t）•

4

5

t=

4

5

（10-2t），
∴S_△EOG=

1

2

×

6

5

t×

4

5

（10-2t）=-

24

25

（t-

5

2

）²+6，
∴△EOG的面積的最大值為6cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似性綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)，不規(guī)則面積的轉(zhuǎn)化及配方法求二次函數(shù)的最值，綜合性較強(qiáng)，對(duì)于此類題目，往往解法不是一目了然，需要同學(xué)們耐心思考，注意解題的過(guò)程，前面已經(jīng)證明的結(jié)論在后面的解答中可以直接使用．