Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，△ACD和△BCE均為等邊三角形．
（1）求證：△DAH∽△ECH；
（2）若AH：HB=1：4，求S_△DAH：S_△ECH．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證△ACH∽△CBH，得到，∠DAH=∠ECH從而推出△DAH∽△ECH；
（2）根據(jù)面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解．
解答：解：（1）證明：∵△ACD和△BCE均為等邊三角形，
∴AC=AD，BC=CE，∠DAC=∠BCE．
在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，
∴∠CAB+∠ACH=∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠ACH=∠ABC．
同理∠CAB=∠HCB．
∴∠DAC+∠CAB=∠BCE+∠HCB，△ACH∽△CBH．
∴AH：CH=AC：BC=AD：CE，∠DAH=∠ECH．
∴△DAH∽△ECH．

（2）∵AH：HB=1：4，
∴HB=4AH．
∵△ACH∽△CBH，
∴CH²=AH•HB=4AH²
∵△DAH∽△ECH，
∴S_△DAH：S_△ECH．=AH²：CH²=1：4．
點評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)的理解及運(yùn)用．