Question

（2009•聊城）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∠DEF=45度．連接BO并延長交AC于點G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于已知了∠DEF的度數(shù)，那么可連接OD，OF，那么∠DOF=2∠DEF=90°，根據(jù)AD，AF是圓的切線，那么OD⊥AB，OF⊥AC，由此可得出∠A的度數(shù)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論我們不難得出ADOF是個正方形，那么OD=AD=AF=OF就都等于圓的半徑長，那么可用半徑表示出BD的長，根據(jù)OD∥AC，我們可以得出關(guān)于BD，AB，OD，AG的比例關(guān)系式．已知了AG，AB的長就能求出半徑的長了．
解答：解：（1）連接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四邊形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
由（1）知四邊形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四邊形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴．
即，
解得r=．
∴⊙O的半徑為．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形等知識點綜合應(yīng)用．根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)得出ADOF是正方形是解題的關(guān)鍵．