Question

【題目】如圖，將平行四邊形ABCO繞點A逆時針旋轉得到平行四邊形ADEF，AD經過點O，且AO:OD=1:2,點F恰好落在x軸的正半軸上，若點C(﹣6，0)，點D在反比例函數y=的圖象上．

(1)證明：△AOF是等邊三角形，并求k的值；

(2)在x軸上有一點G，且△ACG是等腰三角形，求點G的坐標；

(3)求旋轉過程中四邊形ABCO掃過的面積；

Answer 1

【答案】(1)證明見解析； k=； (2) ( 8, 0) ，(,0 ) ()，(,0) ；(3) S=.

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO=∠OAF，可證得△AOF為等邊三角形，由題意可求得OA、OD的長，過D作DK⊥x軸于點K，則可求得OK和DK的長，可求得D點坐標，代入反比例函數解析式可求得k的值；

（2）設G（x，0），由A、C的坐標可分別表示出AG、CG和AC的長，分AG=CG、AG=AC和CG=AC三種情況分別得到關于x的方程，可求得x的值，則可求得G點坐標；

（3）過A作AH⊥x軸于H．可求得AH的長．由旋轉角=∠CAE=∠OAF=60°，四邊形ABCO掃過的面積=扇形CAE的面積+平行四邊形ABCO的面積，即可得出結論．

試題解析：解：（1）過D作DK⊥x軸于K．由旋轉的性質可得AO=AF=DE=BC，∠BAO=∠OAF．∵AB∥BC，∴∠BAO=∠AOF，∴∠AOF=∠OAF，∴AF=OF，∴AF=OF=OA，∴△AOF為等邊三角形．設D（x，y）．∵C(﹣6，0)，∴OC=6，∴AD=CO=6．∵AO：OD=1：2，∴AO=2，OD=4．∵∠COD=∠AOF=60°，∴OK=OD=2，DK=OK=．∵x＜0，y＜0，∴x=-2，y=-，∴D（－2，－ ），∴k=－2×（－）= ．

（2）設G（x，0），且A（1， ），C（﹣6，0），∴AG==，CG=|x+6|，AC==．∵△ACG是等腰三角形，∴有AG=CG、AG=AC和CG=AC三種情況：

①當AG=CG時，則=|x+6|，解得x=﹣，此時G點坐標為（﹣，0）；

②當AG=AC時，則=，解得x=﹣6（與C點重合，舍去）或x=8，此時G點坐標為（8，0）；

③當CG=AC時，則|x+6|=，解得x=﹣6+或x=﹣6﹣，此時G點坐標為（﹣6+，0）或（﹣6﹣，0）；

綜上可知G點坐標為（﹣，0）或（8，0）或（﹣6+，0）或（﹣6﹣，0）；

（3）如圖2，過A作AH⊥x軸于H．∵OA=2，∠AOH=60°，∴AH=AOsin60°==．AC=，旋轉角=∠CAE=∠OAF=60°，四邊形ABCO掃過的面積=扇形CAE的面積+平行四邊形ABCO的面積==．