Question

如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①B、E、D、C四點共圓；②AD•AC=AE•AB；③△DEF是等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BE=

2

DE中，一定正確的有（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=DF=BF=FC，從而可得B、E、D、C四點共圓；再根據割線定理即可證明AD•AC=AE•AB；先根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABD=30°，再根據同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠EFD=60°，從而得到△DEF是等邊三角形；先判定△BCE是等腰直角三角形，然后求出BE=

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2

BC，再根據等邊三角形的三邊相等整理即可得到BE=

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DE．

解答：解：∵BD、CE為高，F為BC的中點，
∴EF=DF=BF=FC，
∴B、E、D、C四點共圓，故①小題正確；
∴AD•AC=AE•AB（割線定理），故②小題正確；
∵∠BAC=60°，BD為高，
∴∠ABD=30°，
∴∠EFD=2∠ABD=60°，
∴△EFD是等邊三角形，故③小題正確；
當∠ABC=45°時，∵CE為高，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=

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2

BC，
又∵DE=EF=

1

2

BC，
∴BE=

2

DE，故④小題正確；
綜上所述，正確的有①②③④共4個．
故選A．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，圓周角定理，難度不大，求出EF=DF=BF=FC是解題的關鍵，也是求解本題的突破口．