Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)作⊙O，AP為⊙O的切線，交DE于點(diǎn)P，且AE²=EF•EP．
（1）求證：∠AFE=∠B；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先證明△EAP∽△EFA，以及∠EAP=∠EFA，再利用切線的性質(zhì)以及圓周角定理求出∠EAP=∠B=∠EFA；

（2）首先證明△ADF∽△DEC，進(jìn)而得出DE的長(zhǎng)，由相似三角形的判定與性質(zhì)得出AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AE²=EF•EP，

∴

AE

EF

=

EP

AE

，

∵∠AEF=∠PEA，
∴△EAP∽△EFA，
∴∠EAP=∠EFA，
由AE⊥BC得AB是⊙O的直徑，

∵AP為⊙O的切線，

∴∠BAP=90°，

∵∠B+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAP=90°，
∴∠EAP=∠B=∠EFA；


（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)和圓周角定理以及切線的性質(zhì)定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出△EAP∽△EFA是解題關(guān)鍵．