Question

（2010•邵陽）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸l與直線BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為該拋物線上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作⊙P
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；
②若r=，是否存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax²+bx+x（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（），對稱軸x=．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，易求得A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)直線BC的解析式求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求出DE、EF、BF的長；
①當(dāng)D、P重合時，過D作DG⊥BC于G，易證得△DEG∽△BEF，由此可得到DE、EG的比例關(guān)系，進(jìn)而可由勾股定理求出DE的長；若⊙P與直線BC相交，那么半徑r＞DE，由此可求出r的取值范圍；
②由①知：當(dāng)DE=r=；可過F作FM⊥BC于M，由于DE=EF=2，易證得FM=DG=r；可分別過D、F作直線BC的平行線m、n，則P點(diǎn)必為直線m、n與拋物線的交點(diǎn)，可先求出直線m、n的解析式，再分別聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）拋物線y=-x²+x+3中，
令y=0，得0=-x²+x+3，
解得x=-2，x=6；
令x=0，得y=3；
∴A（-2，0），B（6，0），C（0，3）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：
，
解得
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；

（2）由拋物線的解析式知：y=-（x-2）²+4，
即D（2，4）；
當(dāng)x=2時，y=-x+3=-1+3=2，
即E（2，2）；
∴EF=DE=2，BF=4；
①過D作DG⊥BC于G，則△DEG∽△BEF；
∴DE：GE=BF：EF=2：1，即DG=2GE；
Rt△DGE中，設(shè)GE=x，則DG=2x，
由勾股定理，得：GE²+DG²=DE²，
即：4x²+x²=4，
解得x=；
∴DG=2x=；
故D、P重合時，若⊙P與直線BC相切，則r＞DG，即r＞；
②存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）；
過點(diǎn)F作FM⊥BC于M；
∵DE=EF=2，則Rt△DGE≌Rt△FME；
∴FM=DG=r=；
分別過D、F作直線m、n平行于直線BC，則直線m與直線BC、直線n與直線BC之間的距離都等于r；
所以P點(diǎn)必為直線m、n與拋物線的交點(diǎn)；
設(shè)直線m的解析式為：y=ax+h，由于直線m與直線BC平行，則a=-；
∴-×2+h=4，h=5，
即直線m的解析式為y=-x+5；
同理可求得直線n的解析式為：y=-x+1；
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式，
得：，
解得，；
∴P₁（2，4），P₂（4，3）；
同理，聯(lián)立直線n與拋物線的解析式可求得：P₃（3+，），P₄（3-，）；
故存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P₁（2，4），P₂（4，3），P₃（3+，），P₄（3-，）．
點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、相似三角形及全等三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．