Question

己知：二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋6(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x²－4x－12＝0的兩個根．

(1)請直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

(2)請求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

(3)如圖1，在二次函數(shù)對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

(4)如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段0B上一個動點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合)．過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)(m，0)，當(dāng)△CDQ面積S最大時，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)解一元二次方程x2－4x－12＝0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)； 　　(2)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋6，可求二次函數(shù)解析式，配方為頂點(diǎn)式，可求對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； 　　(3)作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接A，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP，P點(diǎn)即為所求； 　　(4)由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)S△CDQ＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時，m的值． 　　解答：解：(1)A(－2，0)，B(6，0)； 　　(2)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋6，得 　　， 　　解得， 　　∴y＝－x2＋2x＋6， 　　∵y＝－(x－2)2＋8， 　　∴拋物線對稱軸為x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，8)； 　　(3)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接A，交拋物線對稱軸于P點(diǎn)，連接CP， 　　∵C(0，6)， 　　∴(4，6)，設(shè)直線A解析式為y＝ax＋b，則 　　， 　　解得， 　　∴y＝x＋2，當(dāng)x＝2時，y＝4， 　　即P(2，4)； 　　(4)依題意，得AB＝8，QB＝6－m，AQ＝m＋2，OC＝6，則S△ABC＝AB×OC＝24， 　　∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA， 　　∴＝()2＝()2， 　　即S△BDQ＝(m－6)2， 　　又S△ACQ＝AQ×OC＝3m＋6， 　　∴S＝S△ABC－S△BDQ－S△ACQ＝24－(m－6)2－(3m＋6)＝－m2＋m＋＝－(m－2)2＋6， 　　∴當(dāng)m＝2時，S最大． 　　點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，相似三角形的知識解題．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．