【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B是第一象限的點(diǎn),且AB⊥y軸,且AB=OA,點(diǎn)C是線段OA上任意一點(diǎn),連接BC,作BD⊥BC,交x軸于點(diǎn)D.
(1)依題意補(bǔ)全下圖;
(2)用等式表示線段OA,AC與OD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)連接CD,作∠CBD的平分線,交CD邊于點(diǎn)H,連接AH,求∠BAH的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)OA+AC=OD,見解析;(3)45°
【解析】
(1)根據(jù)題意畫出圖形即可;
(2)過B作BE⊥x軸于E,則四邊形AOEB是矩形,根據(jù)矩形的想知道的BE=AO,∠ABE=90°,等量代換得到AB=BE推出△ABC≌△EBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=DE,等量代換即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=BD,推出△BCD是等腰直角三角形,于是得到∠BCD=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BHC=90°,過H作HN⊥OA,HM⊥AB,證明△CNH≌△BHM,可得出HN=HM,則AH平分∠CAB,可得到結(jié)論.
解:(1)如圖1所示,
(2)OA+AC=OD,
如圖1,過B作BE⊥x軸于E,
則四邊形AOEB是矩形,
∴BE=AO,∠ABE=90°,
∵AB=AO,
∴AB=BE,
∵BD⊥BC,
∴∠CBD=90°,
∴∠ABC=∠DBE,
在△ABC與△BDE中,
,
∴△ABC≌△EBD(ASA),
∴AC=DE,
∵OE=AB=OA,
∴AO+AC=OD;
(3)如圖2,由(1)知:△ABC≌△EBD,
∴BC=BD,
∵BD⊥BC,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BCD=45°,
∵BH平分∠CBD,
∴∠BHC=90°,
∵∠BAO=90°,
過H作HN⊥OA,HM⊥AB,
∴四邊形ANMH是矩形,
∴∠NHM=90°,
∴∠NHC=∠MHB,
∴△CNH≌△BHM(AAS),
∴HN=HM,
∴AH平分∠CAB,
∴∠BAH=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E為邊AC任意一點(diǎn),連接BE.
(1)如圖1,若∠ABE=15°,O為BE中點(diǎn),連接AO,且AO=1,求BC的長(zhǎng);
(2)如圖2,F(xiàn)也為AC上一點(diǎn),且滿足AE=CF,過A作AD⊥BE交BE于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)D,連接DF交BE于點(diǎn)G,連接AG.若AG平分∠CAD,求證:AH=AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母.(保留作圖痕跡,不寫作法)
①作AC的垂直平分線,交AB于點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)D;
②以O為圓心,OA為半徑作圓,交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(2)在(1)所作的圖形中,解答下列問題.
①點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是__;(直接寫出答案)
②若DE=2,AC=8,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線一點(diǎn),對(duì)角線BD與AC交于點(diǎn)O,以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG,連接EB、GD.
(1)求證:EB=GD;
(2)若AB=5,AG=2,求EB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換,若原來點(diǎn)A坐標(biāo)是,則經(jīng)過第2019次變換后所得的A點(diǎn)坐標(biāo)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
小銘和小雨在學(xué)習(xí)過程中有如下一段對(duì)話:
小銘:“我知道一般當(dāng)m≠n時(shí),≠.可是我見到有這樣一個(gè)神奇的等式:
=(其中a,b為任意實(shí)數(shù),且b≠0).你相信它成立嗎?”
小雨:“我可以先給a,b取幾組特殊值驗(yàn)證一下看看.”
完成下列任務(wù):
(1)請(qǐng)選擇兩組你喜歡的、合適的a,b的值,分別代入閱讀材料中的等式,寫出代入后得到的具體等式并驗(yàn)證它們是否成立(在相應(yīng)方框內(nèi)打勾);
① 當(dāng)a= ,b= 時(shí),等式 (□成立;□不成立);
② 當(dāng)a= ,b= 時(shí),等式 (□成立;□不成立).
(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b(b≠0),通過計(jì)算說明=是否成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=(2m+1)x+m﹣3.
(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn),求m的值;
(2)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù),且y隨著x的增大而減小,求m的取值范圍;
(3)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù),且圖象不經(jīng)過第四象限,求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(6分)如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)請(qǐng)畫出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2;
(3)求出(2)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(記過保留根號(hào)和π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn),且∠AOB=40°,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PMN周長(zhǎng)取最小值時(shí),則∠MPN的度數(shù)為( )
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
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