Question

平行四邊形ABCD中，AB=2BC，E為DC的中點，AE與BC延長相交于點F．求證：∠F=∠FAB．

Answer 1

證明：方法1：∵平行四邊形ABCD，
∴AB∥CD，AD∥CB；∴AB=CD，AD=CB．
又E是DC的中點，
∴DE=DC=AB，AD=BC=AB，
∴DE=AD．
∴∠DAE=∠DEA．
由于AD∥BC，
∴∠DAE=∠F、
由于AB∥CD，
∴∠FAB=∠DEA．
因此，∠F=∠FAB．

方法2：
∵平行四邊形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAF=∠F，
在△AED和△FEC中，
∴△AED≌△FEC．
∴AD=CF．
∴BC=CF即BF=2BC．又AB=2BC．
∴AB=BF．
因此，∠F=∠FAB．
分析：方法1、要證∠DAF=∠F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，和平行線的性質(zhì)，可證∠DAE=∠DEA，∠DAE=∠F，∠FAB=∠DEA；由等量代換，即證∠F=∠FAB；
方法2．、要證∠DAF=∠F，可證△ABF是等腰三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，和平行線的性質(zhì)，可證△AED≌△FEC，得AD=CF，BC=CF即BF=2BC．又AB=2BC．
得AB=BF，所以∠DAF=∠F．
點評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)的運用，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)的證明．